AVL树（C++）

2024-06-01 15:20
文章标签 c++ avl

本文主要是介绍AVL树（C++），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

文章目录

  • 1. 键值对
  • 2. AVL树
    • 2.1 AVL树的概念
    • 2.2 AVL树节点的定义
    • 2.3 AVL树的插入
      • 2.3.1 按照二叉搜索树的方式插入新节点
      • 2.3.2 调整节点的平衡因子
    • 2.4 AVL树的旋转
      • 2.4.1 右单旋
      • 2.4.2 左单旋
      • 2.4.3 左右双旋
      • 2.4.4 右左双旋
  • 3. AVL树的删除
  • 4. AVL树的验证
  • 4. 源码

1. 键值对

键值对是一种常见的数据结构，用于表示具有一一对应关系的信息。每个键值对包含两个部分：键（key）和值（value）。比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该应该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义。
SGI-STL中关于键值对的定义：

template <class T1, class T2>
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{}
pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{}
};

2. AVL树

2.1 AVL树的概念

上篇文章我们实现了搜索二叉树，而搜索二叉树虽然可以缩短查找的效率，但时如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
这样，AVL树可以避免二叉搜索树退化为链表，确保查找、插入和删除操作的时间复杂度始终保持在
O(logn) 的范围内。将这种自平衡的二叉搜索树命名为AVL树。

AVL树具有如下性质：

  1. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。
  2. 它的左右子树都是AVL树。

ps:当前节点平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
在这里插入图片描述

2.2 AVL树节点的定义

TreeNode成员的几点解释：

  1. 引入成员_bf：用于记录当前节点的平衡因子，即右子树高度减去左子树高度的值。平衡因子的作用是帮助判断树的平衡状态，当平衡因子的绝对值大于1时，表示树失衡，需要进行相应的调整操作。
  2. 引入_parent指针：指向当前节点的父节点。通过这个指针，可以在需要时访问到父节点。
  3. 节点中存储的是键值对信息。

AVL树节点的定义：

template<class K, class V>
struct TreeNode
{struct TreeNode* _left;//左孩子struct TreeNode* _right;//右孩子struct TreeNode* _parent;//父节点pair<K, V> _kv;int _bf;//平衡因子 balance factor//构造函数TreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_kv(kv){}
};

2.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点。
  2. 调整节点的平衡因子。

具体操作步骤如下：

2.3.1 按照二叉搜索树的方式插入新节点

具体操作过程参考之前写的文章，这里就不在赘述，详情参考之前写的这篇文章：搜索二叉树，这里直接给出插入新节点的具体代码。

bool insert(const pair<K, V>& kv)
{//按照搜索树的方式插入新节点//空树if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//找插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}
}

2.3.2 调整节点的平衡因子

新节点cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

  • 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
  • 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

新节点是插入在parent的左边或者右边，如果插入以后，parent这颗树的高度变了，则需要继续往上更新，直到更新到根节点或者遇到平衡因子为-2 or 2(此时需要旋转控制平衡)，否则无需往上更新，插入结束。
1. parent的平衡因子变为了0。parent的平衡因子变为了0，也就意味着parent的平衡因子之前为-1 或者 1，也就是新节点插入在parent这颗树矮的那一边。
在这里插入图片描述
2 parent的平衡因子变为了-1 或者1。parent的平衡因子变为了-1 或者1，也就意味着parent的平衡因子之前为0 ，也就是新节点的插入导致parent这颗树左子树或者右子树变高了，此时以parent为根的树的高度也增加了，需要继续向上更新。
在这里插入图片描述
3 parent的平衡因子变为了-2 或者2。parent的平衡因子变为了-2 或者2，也就意味着parent这棵树出现了不平衡，需要对其进行旋转处理。

调整节点的平衡因子的代码如下：

//更新平衡因子
while (parent)
{//更新父节点的平衡因子if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//检测更新后的父节点的平衡因子if (parent->_bf == 0)// -1 1{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//0{// 插入前父节点的平衡因子是0，插入后父节点的平衡因子为1 或者 -1 // 说明以父节点为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 父节点的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性// 需要对以parent为根的树进行旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}else{assert(false);//平衡因子出现问题了}break;}else{assert(false);//平衡因子出现问题了}
}

2.4 AVL树的旋转

通过上面的分析，可以发现在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。

根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

2.4.1 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋。
在这里插入图片描述

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子中)，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。ps: 我们通过下面的图可以发现，整个过程只有parent和subL的平衡因子变了，都变为了0。
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 60可能是根节点，也可能是子树
    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

下面我们来画一下抽象图再来理解一下：
在这里插入图片描述
代码如下：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//旋转，subLR做parent的左子树//parent做subL的右子树parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent为根节点，需要将根节点更新为subR if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{//更新subR的父节点指针if (subL->_kv.first > pParent->_kv.first){pParent->_right = subL;}else{pParent->_left = subL;}subL->_parent = pParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.4.2 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋。
在这里插入图片描述
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树(注意：此处可能是右孩子中)，60右
子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将右子树往上提，这样30转下来，因为30比60小，只能将其放在60的左子树，而如果60有左子树，左子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在30的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。ps: 我们通过下面的图可以发现，整个过程只有parent和subR的平衡因子变了，都变为了0。
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在
  2. 30可能是根节点，也可能是子树
    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

下面我们来画一下抽象图再来理解一下：
在这里插入图片描述
代码如下：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//旋转，subRL做parent的右子树//parent做subR的左子树parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//parent为根节点，需要将根节点更新为subR if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//更新subR的父节点指针if (subR->_kv.first > pParent->_kv.first){pParent->_right = subR;}else{pParent->_left = subR;}subR->_parent = pParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.4.3 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右双旋：先左单旋再右单旋。
在这里插入图片描述
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的右子树(注意：此处可能是右孩子中)，30右子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将右子树往上提。我们发现通过单旋无法让其保持平衡，因此需要进行双旋。旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。ps: 我们通过下面的图可以发现，整个过程parent、subL以及subLR的平衡因子变了。当40为新增节点时，双旋后parent、subL以及subLR的平衡因子都变为了0；新节点插入到40的右子树时，双旋后parent和subLR的平衡因子都变为了0，而subL的平衡因子变为了-1；新节点插入到40的左子树时，双旋后subL和subLR的平衡因子都变为了0，而parent的平衡因子变为了1。
下面我们来画一下抽象图再来理解一下：
在这里插入图片描述

代码如下：

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//先对subL进行左单旋RotateL(subL);//再对parent进行左单旋RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == 0){subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else{subLR->_bf = subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}
}

2.4.4 右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋。
在这里插入图片描述
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的左子树(注意：此处可能是左孩子中)，60的左子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将左子树往上提。我们发现通过单旋无法让其保持平衡，因此需要进行双旋。旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。ps: 我们通过下面的图可以发现，整个过程parent、subL以及subLR的平衡因子变了。当40为新增节点时，双旋后parent、subR以及subRL的平衡因子都变为了0；新节点插入到40的右子树时，双旋后subRL和subR的平衡因子都变为了0，而subL的平衡因子变为了-1；新节点插入到40的左子树时，双旋后parent和subRL的平衡因子都变为了0，而subR的平衡因子变为了1。
下面我们来画一下抽象图再来理解一下：
在这里插入图片描述
代码如下：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);//更新平衡因子if (bf == 0){subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{parent->_bf = subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}
}

总结：假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑:
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
当subR的平衡因子为1时，执行左单旋
当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. parent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

3. AVL树的删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

4. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树
    如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

代码如下：

void _InOrder(Node* root)
{if (!root) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << endl;_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{_InOrder(_root);cout << endl;
}
  1. 验证其为平衡树
    每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
    节点的平衡因子是否计算正确。

代码如下：

int Height(Node* root)
{if (!root) return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return 1 + max(leftHeight, rightHeight);
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{if (!root) return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << " : 的平衡因子异常" << root->_bf << endl;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
bool IsBalanceTree()
{return _IsBalanceTree(_root);
}

验证用例：
常规场景1 ：{16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}。
在这里插入图片描述
特殊场景2：{4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}。
在这里插入图片描述

4. 源码

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>using namespace std;
template<class K, class V>
struct TreeNode
{struct TreeNode* _left;struct TreeNode* _right;struct TreeNode* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;//平衡因子 balance factorTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_kv(kv){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef struct TreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(const pair<K, V>& kv){//空树if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//找插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//更新平衡因子while (parent){//更新父节点的平衡因子if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//检测更新后的父节点的平衡因子if (parent->_bf == 0)// -1 1{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//0{// 插入前父节点的平衡因子是0，插入后父节点的平衡因子为1 或者 -1 // 说明以父节点为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 父节点的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性// 需要对以parent为根的树进行旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}else{assert(false);//平衡因子出现问题了}break;}else{assert(false);//平衡因子出现问题了}}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}
private:int Height(Node* root){if (!root) return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return 1 + max(leftHeight, rightHeight);}bool _IsBalanceTree(Node* root){if (!root) return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << " : 的平衡因子异常" << root->_bf << endl;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (!root) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << endl;_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//旋转，sub的右子树做parent的左子树//parent做subL的右子树parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//parent为根节点，需要将根节点更新为subR if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//更新subR的父节点指针if (subR->_kv.first > pParent->_kv.first){pParent->_right = subR;}else{pParent->_left = subR;}subR->_parent = pParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (subL->_kv.first > pParent->_kv.first){pParent->_right = subL;}else{pParent->_left = subL;}subL->_parent = pParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);//更新平衡因子if (bf == 0){subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{parent->_bf = subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//先对subL进行左单旋RotateL(subL);//再对parent进行左单旋RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == 0){subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else{subLR->_bf = subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}}
private:Node* _root = nullptr;
};#include "AVLTree.h"int main()
{int nums[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int, int> avl;for (auto e : nums){avl.insert(make_pair(e, e));}avl.InOrder();cout << avl.IsBalanceTree();return 0;
}

总结：
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2​(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

至此，本片文章就结束了，若本篇内容对您有所帮助，请三连点赞，关注，收藏支持下。

创作不易，白嫖不好，各位的支持和认可，就是我创作的最大动力，我们下篇文章见！

如果本篇博客有任何错误，请批评指教，不胜感激 ！！！
在这里插入图片描述

这篇关于AVL树（C++）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/1021379。

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