三维偏序问题【NOI2018模拟3.28】Subset

本文主要是介绍三维偏序问题【NOI2018模拟3.28】Subset，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

三维偏序问题请看下面

Description

Input

第一行一个正整数 n
第二行 n 个数字，表示排列 a i
第三行 n 个数字，表示排列 b i
第四行 n 个数字，表示排列 c i

Output

一行一个整数，表示答案

Sample Input

8
1 7 5 3 4 8 2 6
3 1 2 7 4 8 5 6
6 3 4 5 8 2 1 7

Sample Output

42

Data Constraint

对于 10% 的数据满足 n ≤ 20
对于 30% 的数据满足 n ≤ 2000
另有 20% 的数据满足 a i = b i
对于 100% 的数据满足 n ≤ 100000

Solution

考虑S只包括了包含了三元组的位置，那么|S|<=3
若|S|=1，则答案为n
若|S|=2，则答案为 C2n $C_n^2$减去不合法的
在这种情况下，不合法的只有当某一列三个数都小于另一列，即这一列是没用的。
这个就是三维偏序问题了，具体怎么做，下面再说。
|S|=3，则答案为$C_n^3$减去不合法的
不合法的有三个最大值都集中在一列或两列
集中在一列，和上面的一样，三维偏序问题
集中在两列，枚举是哪两个数在同一列，然后变成二维偏序问题。

三维偏序问题

也可以理解为三维数点问题，就以这题中数一个点三维都小于另一个点为例。
二维偏序问题是很简单的：
一维排序，然后第二位用树状数组维护一下。
三维偏序也可以这么做，把树状数组变成树状数组套线段树，也不麻烦。
也可以考虑第二维分治，第三维用树状数组。
具体来说，先按照一维排序，在分治时分成两部分，只考虑左半边对右半边的贡献。
这时，可以左半边和右半边分别按第二维排序，因为保证了第一位左边比右边小。
然后只剩一维了，用树状数组维护一下。
递归做到底层就行了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define N 101000
#define ll long long
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
int n,t[N*2];
ll ans,A[N],B=0,X=0;
struct node{int a,b,c,z;
}a[N];
bool cnt1(node a,node b){return a.a<b.a;}
bool cnt2(node a,node b){return a.b<b.b;}
void ins(int x,int y)
{for(;x<=n;x+=lowbit(x)) t[x]+=y;
}
int get(int x)
{int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=t[x];return ans;
}
void divide(int l,int r)
{if(l==r) return;int m=(l+r)/2;divide(l,m);divide(m+1,r);sort(a+l,a+r+1,cnt1);sort(a+l,a+m+1,cnt2);sort(a+m+1,a+r+1,cnt2);int j=m+1;fo(i,l,m){ins(a[i].c,1);while(j<=r&&a[j].b<a[i].b) j++;while(j<=r&&a[j].b<a[i+1].b){ll c=get(a[j].c);ans-=c;A[a[j].z]+=c;j++;}}while(j<=r){ll c=get(a[j].c);ans-=c;A[a[j].z]+=c;j++;}fo(i,l,m) ins(a[i].c,-1);
}
void calc()
{memset(t,0,sizeof(t));sort(a+1,a+n+1,cnt1);fo(i,1,n){A[a[i].z]+=get(a[i].b);ins(a[i].b,1);}
}
int main()
{freopen("subset.in","r",stdin);freopen("subset.out","w",stdout);scanf("%d",&n);fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i].a);fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i].b);fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i].c),a[i].z=i;ans=n;ans=ans+ans*(ans-1)/2+ans*(ans-1)*(ans-2)/3/2;sort(a+1,a+n+1,cnt1);divide(1,n);fo(i,1,n) X+=A[i]*(A[i]-1)/2;ans-=X;memset(A,0,sizeof(A));calc();fo(i,1,n) B+=A[i]*(A[i]-1)/2;fo(i,1,n) swap(a[i].b,a[i].c),A[i]=0;calc();fo(i,1,n) B+=A[i]*(A[i]-1)/2;fo(i,1,n) swap(a[i].a,a[i].c),A[i]=0;calc();fo(i,1,n) B+=A[i]*(A[i]-1)/2;ans=ans-B+3*X;printf("%lld\n",ans);
}

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