一个余数问题的思考

2024-05-29 02:08
文章标签 问题 思考 余数

本文主要是介绍一个余数问题的思考,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

刚刚在贴吧上看到一个很简单的算法小问题,顺便看到了很多人不同的思路。我觉得很有意思,所以也来研究一下。

问题如下:

一筐鸡蛋:
1个1个拿,正好拿完。
2个2个拿,还剩1个。
3个3个拿,正好拿完。
4个4个拿,还剩1个。
5个5个拿,还差1个。
6个6个拿,还剩3个。
7个7个拿,正好拿完。
8个8个拿,还剩1个。
9个9个拿,正好拿完。
问:筐里最少有几个鸡蛋?

题目很简单,我们可以直接用暴力穷举法。这当然是最简单的办法, 下面是这种方法的Kotlin代码。运行之后,得到结果为1449。

fun answer1() {var n = 0while (true) {if (n % 2 == 1 && n % 4 == 1 && n % 5 == 4 && n % 6 == 3 && n % 7 == 0 && n % 8 == 1 && n % 9 == 0) {break}n++}println(n)
}

当然暴力穷举虽然简单,但是效率并不是很高,对于这个问题来说,循环运行了1449次。我们可以分析题目特点,简化循环的运行次数。

首先来看看题目,很明显第一句是废话,因为任何正整数都可以被1整除。然后是第二句,这表明这个数是一个奇数。第三句和第九句明显重复,可以被9整除,那么必然也可以被3整除,所以只看第九句就可以了。还有第五句需要注意一下,因为这里是被5除还差1个,所以是还剩4个。我看贴吧里有些人审题不严,导致做了一个错误答案。

经过一番分析,上面的题目就变成了下面这样的。

奇数
能被9整除
除以4余1
除以5余4
除以6余3
能被7整除
除以8余1

注意到7和9互质,所以答案必然是63的倍数,而且还是个奇数,所以是奇数倍。所以我们的代码可以改进一下。代码中的count用于统计循环次数,这次结果和上次一样,但是循环次数仅为12次,每次要判断的条件也减少了很多。

fun answer2() {var n = 63var count = 0while (true) {count++if (n % 4 == 1 && n % 5 == 4 && n % 6 == 3 && n % 8 == 1) {break}n += 63 * 2}println("n=$n,count=$count")}

当然还可以进一步优化。由于这个数除以5余4,可以想到该数的个位数字不是4就是9,但是由于是奇数,那么个位数必然是9,而且这个数是63的倍数。而除以4余1除以8余1这两个条件可以简化为除以8余1。所以最后代码就变成了这样,循环仅仅循环了3次。

fun answer3() {var n = 63 * 3var count = 0while (true) {count++if (n % 8 == 1) {break}n += 630}println("n=$n,count=$count")
}

我还看到贴吧上有人说用同余定理算,但是我比较笨,没理解怎么用同余定理来计算。不过以前我倒是遇到过类似的题目,所以最后来介绍一下。

我遇到的题目类似下面这样:

一个数除以2余1,除以3余2,除以4余3,这个数最小是几?

这个问题倒是有一个简便方法,由于余数恰好和除数只差1,所以如果在被除数上加1,那么它就可以同时被2、3、4整除,所以这个数最小应该是2、3、4的最小公倍数再减1,所以应该是23 。

回到我们这道题目来说,由于余数每次都不一样,所以没办法这么做。不过我想了想,能不能通过加一个数,让余数都变得相同。由于我数学不好,也不懂数论这些专业知识,所以直接用代码模拟一下,发现确实可以得到一个数,让答案加上这个数以后,所有余数都相同。这个数是1071,这时候余数都是0 。Kotlin代码如下。

fun cal() {val numbers = hashMapOf(2 to 1,3 to 0,4 to 1,5 to 4,6 to 3,7 to 0,8 to 1,9 to 0)var n = 0while (true) {n++for (k in numbers.keys) {val old = numbers[k]numbers[k] = (old!! + 1) % k}val set = numbers.values.toSet()if (set.size == 1) {break}}println("这个数是:$n")
}

有了这个数,我们就可以用上面的方法来计算结果了。答案加上1071之后,可以被2-9的所有数整除,所以2-9的最小公倍数再减去1071,就是我们要求的答案。而2-9的最小公倍数也就是5-9的最小公倍数,是2520,再减去前面的1071,正好就是最一开始我们得到的答案1449!

如果大家有更好的思路,也可以告诉我,让我们互相学习,共同进步!

这篇关于一个余数问题的思考的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1012339

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