一个余数问题的思考

2024-05-29 02:08

文章标签 问题思考余数

本文主要是介绍一个余数问题的思考，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

刚刚在贴吧上看到一个很简单的算法小问题，顺便看到了很多人不同的思路。我觉得很有意思，所以也来研究一下。

问题如下：

一筐鸡蛋：
1个1个拿，正好拿完。
2个2个拿，还剩1个。
3个3个拿，正好拿完。
4个4个拿，还剩1个。
5个5个拿，还差1个。
6个6个拿，还剩3个。
7个7个拿，正好拿完。
8个8个拿，还剩1个。
9个9个拿，正好拿完。
问：筐里最少有几个鸡蛋？

题目很简单，我们可以直接用暴力穷举法。这当然是最简单的办法，下面是这种方法的Kotlin代码。运行之后，得到结果为1449。

fun answer1() {var n = 0while (true) {if (n % 2 == 1 && n % 4 == 1 && n % 5 == 4 && n % 6 == 3 && n % 7 == 0 && n % 8 == 1 && n % 9 == 0) {break}n++}println(n)
}

当然暴力穷举虽然简单，但是效率并不是很高，对于这个问题来说，循环运行了1449次。我们可以分析题目特点，简化循环的运行次数。

首先来看看题目，很明显第一句是废话，因为任何正整数都可以被1整除。然后是第二句，这表明这个数是一个奇数。第三句和第九句明显重复，可以被9整除，那么必然也可以被3整除，所以只看第九句就可以了。还有第五句需要注意一下，因为这里是被5除还差1个，所以是还剩4个。我看贴吧里有些人审题不严，导致做了一个错误答案。

经过一番分析，上面的题目就变成了下面这样的。

奇数
能被9整除
除以4余1
除以5余4
除以6余3
能被7整除
除以8余1

注意到7和9互质，所以答案必然是63的倍数，而且还是个奇数，所以是奇数倍。所以我们的代码可以改进一下。代码中的count用于统计循环次数，这次结果和上次一样，但是循环次数仅为12次，每次要判断的条件也减少了很多。

fun answer2() {var n = 63var count = 0while (true) {count++if (n % 4 == 1 && n % 5 == 4 && n % 6 == 3 && n % 8 == 1) {break}n += 63 * 2}println("n=$n,count=$count")}

当然还可以进一步优化。由于这个数除以5余4，可以想到该数的个位数字不是4就是9，但是由于是奇数，那么个位数必然是9，而且这个数是63的倍数。而除以4余1和除以8余1这两个条件可以简化为除以8余1。所以最后代码就变成了这样，循环仅仅循环了3次。

fun answer3() {var n = 63 * 3var count = 0while (true) {count++if (n % 8 == 1) {break}n += 630}println("n=$n,count=$count")
}

我还看到贴吧上有人说用同余定理算，但是我比较笨，没理解怎么用同余定理来计算。不过以前我倒是遇到过类似的题目，所以最后来介绍一下。

我遇到的题目类似下面这样：

一个数除以2余1，除以3余2，除以4余3，这个数最小是几？

这个问题倒是有一个简便方法，由于余数恰好和除数只差1，所以如果在被除数上加1，那么它就可以同时被2、3、4整除，所以这个数最小应该是2、3、4的最小公倍数再减1，所以应该是23 。

回到我们这道题目来说，由于余数每次都不一样，所以没办法这么做。不过我想了想，能不能通过加一个数，让余数都变得相同。由于我数学不好，也不懂数论这些专业知识，所以直接用代码模拟一下，发现确实可以得到一个数，让答案加上这个数以后，所有余数都相同。这个数是1071，这时候余数都是0 。Kotlin代码如下。

fun cal() {val numbers = hashMapOf(2 to 1,3 to 0,4 to 1,5 to 4,6 to 3,7 to 0,8 to 1,9 to 0)var n = 0while (true) {n++for (k in numbers.keys) {val old = numbers[k]numbers[k] = (old!! + 1) % k}val set = numbers.values.toSet()if (set.size == 1) {break}}println("这个数是:$n")
}